Квадратура круга построением отрезка равного "Пи"

Геометрия, как наука, начала формироваться около четырех тысяч лет назад и явилась следствием потребности древнего человека в решении практических задач: возведения сооружений и землеустройства. Античные геометры верили в неограниченные возможности циркуля и линейки пока не столкнулись с построением некоторых правильных многоугольников (7, 9, 11, 13 и т.д.) и тремя ставшими впоследствии знаменитыми задачами древности (удвоении куба, трисекции угла и квадратуры круга).

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на работы своих предшественников И. Ламберта, А. Лежандра, Ш. Эрмита, вывел строгое доказательство трансцендентности числа Pi. Таким образам было окончательно установлена невозможность точного построения квадрата равновеликого кругу циркулем и линейкой.

Приводимое ниже построение отрезка равного числу Pi, исходя из радиуса окружности, не противоречит выше изложенному материалу. Древние геометры Антифон, Бризон, Архимед нашли геометрическое решение вычисления числа Pi, суммированием сторон правильных вписанных в окружность или описанных вокруг нее многоугольников. При неограниченном возрастании количества сторон многоугольника, его периметр становится в пределе соизмеримым с длинной окружности. Аналогично сказанному, построенный предлагаемым здесь методом отрезок, гораздо быстрее стремится к длине полуокружности, т.е. числу Pi, нежели периметр многоугольника.

Длина окружности определяется формулой (1) (см. иллюстрацию), площадь круга соответственно (2). Если радиус, какого либо круга принять за единицу, тогда его площадь можно выразить прямоугольником, стороны которого равны Pi и R. В этом случае, большая сторона прямоугольника равна длине полуокружности, а малая - единичному отрезку. Среднее геометрическое сторон прямоугольника есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу, точное построение которого можно осуществить известным способом. Таким образом, решение квадратуры круга сводится к построению отрезка равного Pi, вариант которого предлагается ниже.

Очертим окружность произвольным радиусом R, центр которой обозначим точкой О. Впишем в окружность и опишем вокруг нее правильные шестиугольники. На рисунке изображены по три стороны от этих многоугольников, опоясывающих полуокружность, с целью разъяснения материала. В построении участвует одна сторона АВ от вписанного шестиугольника. Проведем три луча Оа, Оb и Op, исходящих из центра окружности и проходящих через концы отрезка АВ и его середину, точку Р. Опишем дугу из точки О как из центра раствором циркуля в три раза большим за радиус исходной окружности. Дуга пересечет лучи в точках А2, F, В2. Построение можно осуществлять от любого другого вписанного в окружность правильного n-угольника. В этом случае радиус дуги определятся выражением r = nR/2.

Стянем прямой точки А2 и В2. Построенный отрезок равен полусумме сторон вписанного шестиугольника А2В2 = СА + АВ + BD, с недостатком относительно длины полуокружности. Далее построим отрезок А3В3, проведением прямой параллельно А1В1 через точку F, до пересечения с лучами Oa и Ob. Он имеет длину соответствующую половине сторон описанного шестиугольника А3В3 = С1А1 + А1В1 + В1D1, с избытком относительно полуокружности. Таким образом, расположение отрезка равного длине полуокружности следует искать на участке меду отрезками А2В2 и А3В3.

Для этой цели воспользуемся следующим способом. Стянем прямыми концы построенных отрезков крест накрест. Точку E, образованную пересечением отрезка А2В2 и луча Op, соединим с точками А3 и В3. В результате новые отрезки в местах пересечения образуют точки M и N. Построим отрезок А4В4, проходящий через эти точки. Сколь верно он соответствует длине полуокружности (числу Pi) можно узнать, проведя вычисления по формулам: (3) и (4). Здесь a - длина стороны вписанного в окружность многоугольника, а n – число его сторон.

На представленном иллюстрацией построении А4В4 = 3,14023…, что примерно соответствует значению полученному Архимедом. Но он достиг данного результата вычислением периметров описанного и вписанного в окружность 96-ти угольников. Воспользуемся предлагаемым методом и проведем построение на стороне 96-ти угольника. Тогда длина отрезка А4В4 = 3,… с точностью в восемь знаков.

Использование указанных формул позволяет получать в два раза больше точных цифр относительно метода Архимеда. Например, периметр вписанного многоугольника состоящего из 96304 сторон дает значение Pi с точностью в десять знаков, а новый метод – в двадцать. Данная тенденция сохраняется при дальнейшем увеличении сторон многоугольника. Следовательно, с точки зрения теории, точность построения ничем не ограничена.




20:41 23.03.2017




Отзывы и комментарии
Ваше имя (псевдоним):
Проверка на спам:

Введите символы с картинки:



Секс: а зачем он вообще нужен?

Секс: а зачем он вообще нужен?

Нет, безусловно я в курсе, зачем вообще. Знаю также, что секс — лекарство от старения, от лишнего веса и от болезней простаты без всяких предостережений насчет самолечения, а статья моя&nbs...
Петербург. Мосты над водами... Сколько их? Какие они?

Петербург. Мосты над водами... Сколько их? Какие они...

Петербург состоит из нескольких десятков островов. Многие знают, что Васильевский, Каменный, Крестовский — острова. Между тем, Петроградская сторона — такой же остров, и вес...
Продолжительность жизни  в наших руках - советы специалистов

Продолжительность жизни в наших руках - советы спец...

Хотим ли мы жить долго и счастливо? По меньшей мере странный вопрос? Абсолютное большинство из нас без всякого сомнения ответит на этот вопрос положительно. Природа человека и генетически заложенный и...
Позы в Камасутре

Позы в Камасутре

Парни и девушки рассказали нам о своих предпочтениях в Камасутре. Рассмотрим 6 базовых поз. МиссионерОна:"Когда я хочу спать, а он хочет"; "Осторожно, чтобы не остаться задавленной, он опирается ...
Вкусные рецепты: Не придумал ещё!, Королевский салат, Фруктовый тарт

Вкусные рецепты: Не придумал ещё!, Королевский салат...

Не придумал ещё!Берём филе сёмги и режим на кубики не большого размера,примерно 0,7*0,7.Режим лук репчатый мелко и нарезаем кольца порея, это закидываем к сёмге и даём маленько припуститься.Затем как ...
История про жену

История про жену

     Эта история произошла два года назад. Мы с женой решили с недельку отдохнуть. Зима только начиналась, выбрали санаторий, что находится в сорока километрах от нашего прови...
Самое интересное

Зачем и кому нужна романтическая любовь?

Столько уже сказано, спето, снято и написано о любви, что тема эта кажется затертой до дыр, как и са...

Обновление Firefox до 4 версии или мошенничество?

Всеми любимый браузер Firefox сегодня мне предложил обновиться. Всё бы ни чего, но в конце выдал мне...

Значение внешнего вида вашего сайта

Сайт - это лицо Вашей компании. Он выполняет обязанности вашего представителя в интернете. Является ...

Кто вы, прелестные создания, или Что же пленило Жо

Поблекли яркие краски летних лугов. Осень вступила в свои права. И появились осенние цветы. Это о ни...

Сколько жизней у моего мужа, или Осторожно - «Скор

Мой муж, как кошка, имеет 9 жизней. Никаким иным фактом я не могу объяснить того, что он все еще жив...

Гаммарусы, они же морские блохи, или Что скрывает

Как часто мы пробегаем мимо и в суете или из лени не вглядываемся в окружающий нас мир. Однако он те...

Какая порода собак самая умная?

Абсолютное большинство из нас считают собак умными животными. Ведь собака — это старый и ...

Самые колоритные традиции барбекю в разных странах

Понятие «барбекю» охватывает различные способы приготовления пищи: на гриле, на костре, в земляной я...

Пиелонефрит при беременности

Вместе с долгожданными двумя полосками и на протяжении девяти месяцев вас начали сопровождать режущи...

Благодатный огонь-философский взгляд

Схождение Благодатного огня в храме Гроба Господня или Святой Свет символизирует выход из Гроба Свет...



О портале:

Наш сайт является ресурсом, который включает в себя полный ассортимент информативных и отличных статей. Абсолютно каждый гость найдет для себя что-нибудь полезное. Модернизированный дизайн позволяет вам быстро находить требуемую информацию. Самые разнообразные тематические статьи дают возможность вам совершенствоваться в той или иной сфере. Быть более начитанным и грамотным. Современный дизайн сайта позволяет просматривать статьи на всех гаджетах. Теперь отыскать подходящую информацию стало совершенно легко.

Мы подобрали для вас информативные и занимательные статьи. На нашем сайте вы найдете ответы на необходимые для вас вопросы. Упрощенная система поиска позволяет вам мгновенно отыскать нужную информацию. Адаптированный дизайн позволяет вам просматривать информацию на любых гаджетах. Отныне, поиск подходящей информации будет занимать у вас секунды.