Квадратура круга построением отрезка равного "Пи"

Геометрия, как наука, начала формироваться около четырех тысяч лет назад и явилась следствием потребности древнего человека в решении практических задач: возведения сооружений и землеустройства. Античные геометры верили в неограниченные возможности циркуля и линейки пока не столкнулись с построением некоторых правильных многоугольников (7, 9, 11, 13 и т.д.) и тремя ставшими впоследствии знаменитыми задачами древности (удвоении куба, трисекции угла и квадратуры круга).

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на работы своих предшественников И. Ламберта, А. Лежандра, Ш. Эрмита, вывел строгое доказательство трансцендентности числа Pi. Таким образам было окончательно установлена невозможность точного построения квадрата равновеликого кругу циркулем и линейкой.

Приводимое ниже построение отрезка равного числу Pi, исходя из радиуса окружности, не противоречит выше изложенному материалу. Древние геометры Антифон, Бризон, Архимед нашли геометрическое решение вычисления числа Pi, суммированием сторон правильных вписанных в окружность или описанных вокруг нее многоугольников. При неограниченном возрастании количества сторон многоугольника, его периметр становится в пределе соизмеримым с длинной окружности. Аналогично сказанному, построенный предлагаемым здесь методом отрезок, гораздо быстрее стремится к длине полуокружности, т.е. числу Pi, нежели периметр многоугольника.

Длина окружности определяется формулой (1) (см. иллюстрацию), площадь круга соответственно (2). Если радиус, какого либо круга принять за единицу, тогда его площадь можно выразить прямоугольником, стороны которого равны Pi и R. В этом случае, большая сторона прямоугольника равна длине полуокружности, а малая - единичному отрезку. Среднее геометрическое сторон прямоугольника есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу, точное построение которого можно осуществить известным способом. Таким образом, решение квадратуры круга сводится к построению отрезка равного Pi, вариант которого предлагается ниже.

Очертим окружность произвольным радиусом R, центр которой обозначим точкой О. Впишем в окружность и опишем вокруг нее правильные шестиугольники. На рисунке изображены по три стороны от этих многоугольников, опоясывающих полуокружность, с целью разъяснения материала. В построении участвует одна сторона АВ от вписанного шестиугольника. Проведем три луча Оа, Оb и Op, исходящих из центра окружности и проходящих через концы отрезка АВ и его середину, точку Р. Опишем дугу из точки О как из центра раствором циркуля в три раза большим за радиус исходной окружности. Дуга пересечет лучи в точках А2, F, В2. Построение можно осуществлять от любого другого вписанного в окружность правильного n-угольника. В этом случае радиус дуги определятся выражением r = nR/2.

Стянем прямой точки А2 и В2. Построенный отрезок равен полусумме сторон вписанного шестиугольника А2В2 = СА + АВ + BD, с недостатком относительно длины полуокружности. Далее построим отрезок А3В3, проведением прямой параллельно А1В1 через точку F, до пересечения с лучами Oa и Ob. Он имеет длину соответствующую половине сторон описанного шестиугольника А3В3 = С1А1 + А1В1 + В1D1, с избытком относительно полуокружности. Таким образом, расположение отрезка равного длине полуокружности следует искать на участке меду отрезками А2В2 и А3В3.

Для этой цели воспользуемся следующим способом. Стянем прямыми концы построенных отрезков крест накрест. Точку E, образованную пересечением отрезка А2В2 и луча Op, соединим с точками А3 и В3. В результате новые отрезки в местах пересечения образуют точки M и N. Построим отрезок А4В4, проходящий через эти точки. Сколь верно он соответствует длине полуокружности (числу Pi) можно узнать, проведя вычисления по формулам: (3) и (4). Здесь a - длина стороны вписанного в окружность многоугольника, а n – число его сторон.

На представленном иллюстрацией построении А4В4 = 3,14023…, что примерно соответствует значению полученному Архимедом. Но он достиг данного результата вычислением периметров описанного и вписанного в окружность 96-ти угольников. Воспользуемся предлагаемым методом и проведем построение на стороне 96-ти угольника. Тогда длина отрезка А4В4 = 3,… с точностью в восемь знаков.

Использование указанных формул позволяет получать в два раза больше точных цифр относительно метода Архимеда. Например, периметр вписанного многоугольника состоящего из 96304 сторон дает значение Pi с точностью в десять знаков, а новый метод – в двадцать. Данная тенденция сохраняется при дальнейшем увеличении сторон многоугольника. Следовательно, с точки зрения теории, точность построения ничем не ограничена.




20:41 23.03.2017




Отзывы и комментарии
Ваше имя (псевдоним):
Проверка на спам:

Введите символы с картинки:



Что мы знаем о растениях - знаках цветочного гороскопа? Астра.

Что мы знаем о растениях - знаках цветочного гороско...

В осеннем саду радуют глаз яркие цветы астр. Их вид вселяет оптимизм, и приближение холодной поры беспокоит меньше. Оптимист и знак цветочного гороскопа Астра, чья пора с 12 по 22 сентября. Астр...
Хотите расслабиться как кошка? 7 способов мурлыкающей терапии

Хотите расслабиться как кошка? 7 способов мурлыкающе...

Ученые обнаружили, что кошки, в отличие от других четвероногих собратьев, меньше подвержены стрессам и нервному истощению. Читая эти строки, обратите внимание, напряжен ли у вас лоб? А как насчет...
Два друга и учительница

Два друга и учительница

Меня зовут Игорь, а моего лучшего друга - Максим. Мы учимся в 11 «В» классе гимназии Х города N. Я и мой друг запали на учительницу информатики, Ольгу Константиновну. Ей сейчас 29 лет, но выглядит она...
Постельничий

Постельничий

Эротический рассказ Я провинился в первый же день своей службы у барыни. Увидев ее в красивой прозрачной одежде с полуголой грудью, я разинул рот и выронил из рук бочонок. Грохот его падения так пер...
Как избежать стресса?

Как избежать стресса?

В нашей жизни часто складываются нелегкие ситуации, от которых хочется плакать, кричать, бить посуду, замкнуться в себе… Чаще такие ситуации называют стрессовыми. Это влияет и на психическое со...
Бесплатный обновляемый варез

Бесплатный обновляемый варез

Ну, во-первых, предпочтение отдается сайтам с большим количеством этого самого полезного софта. Ведь не хочется же хранить в памяти целую кучу ссылок: сайт с фильмами, музыкой, книгами и т. п. Куда пр...
Популярное

Струйный тест овуляции

Зачем женщине нужно знать свой период овуляции ? Ответ очень прост. Для того, чтобы точно планирова...

Вкусные рецепты: Ореховое трио., Канапе "Ност

Ореховое трио.Выстелить противень пекарской бумагой.Половина шоколада растопить на водяной бане.Доба...

Идеи дизайна интерьера: делаем квартиру функционал

Скорее всего, уже не осталось владельцев квартир, которые бы не решили делать собственное жилище фун...

Курсы китайского: какой вариант обучения лучше выб

Давайте вместе попробуем разобраться, какие варианты изучения китайского языка из представленных сам...

Чем полезны морские водоросли?

Морские водоросли используются человечеством уже много веков как в медицине, так и в косметологии. О...

Как постройнеть и быть в гармонии с собой?

Эксперт в области снижения веса, лауреат премии Роберта Коха «За инновации в медицине», ...

Подросток и наркотики: когда стоит беспокоиться?

Если ваш ребенок в возрасте около 15 лет любит часто проводить время с друзьями, которые не внушают ...

Вкусные рецепты: кексы с блинной мукой, Романтичны

кексы с блинной мукойяйца взбить с сахаром, добавить теплое молоко, размягченное сливочное масло. по...

Спортивно-тренировочный травматический пистолет. Б

«Револьвер Гроза я хочу купить, именно много стрелять». Цитата с оружейного форума. Вы к...

Классика. Так ли это скучно? Часть 2

Соглашусь с теми, кто утверждает, что рок-звезды пошли вовсе и не от короля рок-н-ролла Элвиса Пресл...



О информационном портале:

Наш сайт является ресурсом, который включает в себя полный ассортимент информативных и отличных статей. Абсолютно каждый гость найдет для себя что-нибудь полезное. Модернизированный дизайн позволяет вам быстро находить требуемую информацию. Самые разнообразные тематические статьи дают возможность вам совершенствоваться в той или иной сфере. Быть более начитанным и грамотным. Современный дизайн сайта позволяет просматривать статьи на всех гаджетах. Теперь отыскать подходящую информацию стало совершенно легко.

Мы подобрали для вас информативные и занимательные статьи. На нашем сайте вы найдете ответы на необходимые для вас вопросы. Упрощенная система поиска позволяет вам мгновенно отыскать нужную информацию. Адаптированный дизайн позволяет вам просматривать информацию на любых гаджетах. Отныне, поиск подходящей информации будет занимать у вас секунды.