Квадратура круга построением отрезка равного "Пи"

Геометрия, как наука, начала формироваться около четырех тысяч лет назад и явилась следствием потребности древнего человека в решении практических задач: возведения сооружений и землеустройства. Античные геометры верили в неограниченные возможности циркуля и линейки пока не столкнулись с построением некоторых правильных многоугольников (7, 9, 11, 13 и т.д.) и тремя ставшими впоследствии знаменитыми задачами древности (удвоении куба, трисекции угла и квадратуры круга).

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на работы своих предшественников И. Ламберта, А. Лежандра, Ш. Эрмита, вывел строгое доказательство трансцендентности числа Pi. Таким образам было окончательно установлена невозможность точного построения квадрата равновеликого кругу циркулем и линейкой.

Приводимое ниже построение отрезка равного числу Pi, исходя из радиуса окружности, не противоречит выше изложенному материалу. Древние геометры Антифон, Бризон, Архимед нашли геометрическое решение вычисления числа Pi, суммированием сторон правильных вписанных в окружность или описанных вокруг нее многоугольников. При неограниченном возрастании количества сторон многоугольника, его периметр становится в пределе соизмеримым с длинной окружности. Аналогично сказанному, построенный предлагаемым здесь методом отрезок, гораздо быстрее стремится к длине полуокружности, т.е. числу Pi, нежели периметр многоугольника.

Длина окружности определяется формулой (1) (см. иллюстрацию), площадь круга соответственно (2). Если радиус, какого либо круга принять за единицу, тогда его площадь можно выразить прямоугольником, стороны которого равны Pi и R. В этом случае, большая сторона прямоугольника равна длине полуокружности, а малая - единичному отрезку. Среднее геометрическое сторон прямоугольника есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу, точное построение которого можно осуществить известным способом. Таким образом, решение квадратуры круга сводится к построению отрезка равного Pi, вариант которого предлагается ниже.

Очертим окружность произвольным радиусом R, центр которой обозначим точкой О. Впишем в окружность и опишем вокруг нее правильные шестиугольники. На рисунке изображены по три стороны от этих многоугольников, опоясывающих полуокружность, с целью разъяснения материала. В построении участвует одна сторона АВ от вписанного шестиугольника. Проведем три луча Оа, Оb и Op, исходящих из центра окружности и проходящих через концы отрезка АВ и его середину, точку Р. Опишем дугу из точки О как из центра раствором циркуля в три раза большим за радиус исходной окружности. Дуга пересечет лучи в точках А2, F, В2. Построение можно осуществлять от любого другого вписанного в окружность правильного n-угольника. В этом случае радиус дуги определятся выражением r = nR/2.

Стянем прямой точки А2 и В2. Построенный отрезок равен полусумме сторон вписанного шестиугольника А2В2 = СА + АВ + BD, с недостатком относительно длины полуокружности. Далее построим отрезок А3В3, проведением прямой параллельно А1В1 через точку F, до пересечения с лучами Oa и Ob. Он имеет длину соответствующую половине сторон описанного шестиугольника А3В3 = С1А1 + А1В1 + В1D1, с избытком относительно полуокружности. Таким образом, расположение отрезка равного длине полуокружности следует искать на участке меду отрезками А2В2 и А3В3.

Для этой цели воспользуемся следующим способом. Стянем прямыми концы построенных отрезков крест накрест. Точку E, образованную пересечением отрезка А2В2 и луча Op, соединим с точками А3 и В3. В результате новые отрезки в местах пересечения образуют точки M и N. Построим отрезок А4В4, проходящий через эти точки. Сколь верно он соответствует длине полуокружности (числу Pi) можно узнать, проведя вычисления по формулам: (3) и (4). Здесь a - длина стороны вписанного в окружность многоугольника, а n – число его сторон.

На представленном иллюстрацией построении А4В4 = 3,14023…, что примерно соответствует значению полученному Архимедом. Но он достиг данного результата вычислением периметров описанного и вписанного в окружность 96-ти угольников. Воспользуемся предлагаемым методом и проведем построение на стороне 96-ти угольника. Тогда длина отрезка А4В4 = 3,… с точностью в восемь знаков.

Использование указанных формул позволяет получать в два раза больше точных цифр относительно метода Архимеда. Например, периметр вписанного многоугольника состоящего из 96304 сторон дает значение Pi с точностью в десять знаков, а новый метод – в двадцать. Данная тенденция сохраняется при дальнейшем увеличении сторон многоугольника. Следовательно, с точки зрения теории, точность построения ничем не ограничена.




20:41 23.03.2017




Отзывы и комментарии
Ваше имя (псевдоним):
Проверка на спам:

Введите символы с картинки:



Создание сайта

Создание сайта

Многие люди хотят создать свой сайт или сайт для своей фирмы. В этой статье я хочу поделиться своим опытом. Может это поможет Вам подойти более продуктивно к этому важному делу и не пускать на самотек...
Что делает женщину несексуальной в глазах мужчин?

Что делает женщину несексуальной в глазах мужчин?

Быть сексуальной — значит воздействовать на окружающих. И отталкивающее — это тоже воздействие, но только отрицательное. Мужчины замечательно улавливают это воздействие. То, что ...
Недвижимость в Перми: полезные рекомендации покупателям

Недвижимость в Перми: полезные рекомендации покупате...

Если вы собираетесь купить квартиру в Перми, нелишним будет ознакомиться с основными тенденциями на рынке недвижимости. Сегодня он развивается довольно активно, на досках объявлений публикуется огромн...
Эпидемия в обществе: посплетничаем?

Эпидемия в обществе: посплетничаем?

Сплетня, она же вредная болтовня, она же клевета, она же злоречие. Ее называют эпидемией современного общества. Это яд, отравляющий человеческие взаимоотношения. Черная сторона человече...
Структура ортопедического матраса

Структура ортопедического матраса

Структуру ортопедического матраса можно представить следующим образом: Основание ортопедического матраса Изолятор ортопедического матраса Мягкий слой ортопедического матраса Чехол ортопедического матр...
Плюсы и минусы Интернет - магазина

Плюсы и минусы Интернет - магазина

С началом развития компьютерных технологий и Интернета люди поняли, что деньги можно зарабатывать и при помощи всемирной паутины. Есть много различных способов получить прибыль в сети: рассылка реклам...
Может заинтересовать

Наука химия

В настоящее время наука химия неразрывно связана практически со всеми сферами человеческой деятельно...

Классиков «ф топку», или С чего начинается политик

Не так давно в одном из выпусков «Московских новостей» появилась шокирующая новость об очередном нов...

Откуда взялась народная любовь к фото на фоне ковр

«Потому что ковер — это почти член семьи», — пошутил кто-то в Сети...

Конструкции лестниц гражданских зданий

В состав лестниц входят площадки (этажные и промежуточные) и марши. По количеству маршей на высоту э...

Вкусные рецепты: Кокосовое печенье, Рыба в кляре с

Кокосовое печеньезамесить тесто,расскатать корж сделать кружочки нижнии побольше и выкладывать на пр...

В нынешнее время готовые дрова обладают высоким сп

Какой человек не обожает тепло и уют? Само собой, всякий любит погреться около костра в нежаркий веч...

Как постройнеть и быть в гармонии с собой?

Эксперт в области снижения веса, лауреат премии Роберта Коха «За инновации в медицине», ...

Куда исчезли тараканы?

Когда в последний раз вы видели тараканов у себя дома? Давненько? Вот и я так же. А продавец в ...

Какие растения едят мясо?

Природа не устает нас удивлять своими загадками и сюрпризами. Казалось бы, стебелек с листиками...

Можно ли стать популярной группой, не открывая рта

Если названия групп SHADOWS и VENTURES покажутся вам незнакомыми, не спешите утверждать, что вы нико...



О портале:

Наш сайт является ресурсом, который включает в себя полный ассортимент информативных и отличных статей. Абсолютно каждый гость найдет для себя что-нибудь полезное. Модернизированный дизайн позволяет вам быстро находить требуемую информацию. Самые разнообразные тематические статьи дают возможность вам совершенствоваться в той или иной сфере. Быть более начитанным и грамотным. Современный дизайн сайта позволяет просматривать статьи на всех гаджетах. Теперь отыскать подходящую информацию стало совершенно легко.

Мы подобрали для вас информативные и занимательные статьи. На нашем сайте вы найдете ответы на необходимые для вас вопросы. Упрощенная система поиска позволяет вам мгновенно отыскать нужную информацию. Адаптированный дизайн позволяет вам просматривать информацию на любых гаджетах. Отныне, поиск подходящей информации будет занимать у вас секунды.