Квадратура круга построением отрезка равного "Пи"

Геометрия, как наука, начала формироваться около четырех тысяч лет назад и явилась следствием потребности древнего человека в решении практических задач: возведения сооружений и землеустройства. Античные геометры верили в неограниченные возможности циркуля и линейки пока не столкнулись с построением некоторых правильных многоугольников (7, 9, 11, 13 и т.д.) и тремя ставшими впоследствии знаменитыми задачами древности (удвоении куба, трисекции угла и квадратуры круга).

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на работы своих предшественников И. Ламберта, А. Лежандра, Ш. Эрмита, вывел строгое доказательство трансцендентности числа Pi. Таким образам было окончательно установлена невозможность точного построения квадрата равновеликого кругу циркулем и линейкой.

Приводимое ниже построение отрезка равного числу Pi, исходя из радиуса окружности, не противоречит выше изложенному материалу. Древние геометры Антифон, Бризон, Архимед нашли геометрическое решение вычисления числа Pi, суммированием сторон правильных вписанных в окружность или описанных вокруг нее многоугольников. При неограниченном возрастании количества сторон многоугольника, его периметр становится в пределе соизмеримым с длинной окружности. Аналогично сказанному, построенный предлагаемым здесь методом отрезок, гораздо быстрее стремится к длине полуокружности, т.е. числу Pi, нежели периметр многоугольника.

Длина окружности определяется формулой (1) (см. иллюстрацию), площадь круга соответственно (2). Если радиус, какого либо круга принять за единицу, тогда его площадь можно выразить прямоугольником, стороны которого равны Pi и R. В этом случае, большая сторона прямоугольника равна длине полуокружности, а малая - единичному отрезку. Среднее геометрическое сторон прямоугольника есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу, точное построение которого можно осуществить известным способом. Таким образом, решение квадратуры круга сводится к построению отрезка равного Pi, вариант которого предлагается ниже.

Очертим окружность произвольным радиусом R, центр которой обозначим точкой О. Впишем в окружность и опишем вокруг нее правильные шестиугольники. На рисунке изображены по три стороны от этих многоугольников, опоясывающих полуокружность, с целью разъяснения материала. В построении участвует одна сторона АВ от вписанного шестиугольника. Проведем три луча Оа, Оb и Op, исходящих из центра окружности и проходящих через концы отрезка АВ и его середину, точку Р. Опишем дугу из точки О как из центра раствором циркуля в три раза большим за радиус исходной окружности. Дуга пересечет лучи в точках А2, F, В2. Построение можно осуществлять от любого другого вписанного в окружность правильного n-угольника. В этом случае радиус дуги определятся выражением r = nR/2.

Стянем прямой точки А2 и В2. Построенный отрезок равен полусумме сторон вписанного шестиугольника А2В2 = СА + АВ + BD, с недостатком относительно длины полуокружности. Далее построим отрезок А3В3, проведением прямой параллельно А1В1 через точку F, до пересечения с лучами Oa и Ob. Он имеет длину соответствующую половине сторон описанного шестиугольника А3В3 = С1А1 + А1В1 + В1D1, с избытком относительно полуокружности. Таким образом, расположение отрезка равного длине полуокружности следует искать на участке меду отрезками А2В2 и А3В3.

Для этой цели воспользуемся следующим способом. Стянем прямыми концы построенных отрезков крест накрест. Точку E, образованную пересечением отрезка А2В2 и луча Op, соединим с точками А3 и В3. В результате новые отрезки в местах пересечения образуют точки M и N. Построим отрезок А4В4, проходящий через эти точки. Сколь верно он соответствует длине полуокружности (числу Pi) можно узнать, проведя вычисления по формулам: (3) и (4). Здесь a - длина стороны вписанного в окружность многоугольника, а n – число его сторон.

На представленном иллюстрацией построении А4В4 = 3,14023…, что примерно соответствует значению полученному Архимедом. Но он достиг данного результата вычислением периметров описанного и вписанного в окружность 96-ти угольников. Воспользуемся предлагаемым методом и проведем построение на стороне 96-ти угольника. Тогда длина отрезка А4В4 = 3,… с точностью в восемь знаков.

Использование указанных формул позволяет получать в два раза больше точных цифр относительно метода Архимеда. Например, периметр вписанного многоугольника состоящего из 96304 сторон дает значение Pi с точностью в десять знаков, а новый метод – в двадцать. Данная тенденция сохраняется при дальнейшем увеличении сторон многоугольника. Следовательно, с точки зрения теории, точность построения ничем не ограничена.




20:41 23.03.2017




Отзывы и комментарии
Ваше имя (псевдоним):
Проверка на спам:

Введите символы с картинки:



Значение внешнего вида вашего сайта

Значение внешнего вида вашего сайта

Сайт - это лицо Вашей компании. Он выполняет обязанности вашего представителя в интернете. Является виртуальным офисом. В современном мире стоит учитывать факт, что большинство людей судят о компании ...
Какая порода собак самая умная?

Какая порода собак самая умная?

Абсолютное большинство из нас считают собак умными животными. Ведь собака — это старый и проверенный друг человека, и это непреложная истина. За период нашего тесного общения выведены сотни...
Бюджетных мест на всех не хватит

Бюджетных мест на всех не хватит

В приемных вузов определенных прогнозов на этот год не дают. В КФУ, например, в этом году готовы принять на бюджетные места около 5000 абитуриентов. В прошлом году на бюджет было принято почти 5000 че...
Полезно ли человеку мечтать, и как это делать правильно?

Полезно ли человеку мечтать, и как это делать правил...

Бардак бывает не только в квартире. Впрочем, если бардак в квартире, это всё же не так уж страшно по сравнению с бардаком в голове, с хламом и мусором, которым мы, современные люди, так часто зас...
Мне бы в небо. Как человечество училось летать?

Мне бы в небо. Как человечество училось летать?

21 ноября 1783-го года состоялся первый в истории полет человека на воздушном шаре Человек всегда был одержим небом. Кто из нас не летал во сне, бороздя небесные просторы? А кто не мечтал побыва...
Каковы наиболее яркие преимущества японской косметики?

Каковы наиболее яркие преимущества японской косметик...

Благодаря рецептам, передаваемым из поколения в поколение, и применению современных технологий, японская косметика завоевала сердца многих покупателей по всему миру. Чистоплотность, которая присуща вс...
Популярное

Сколько стоят отношения?

Все, наверное, слышали расхожую фразу: «Деньги портят отношения». Но с другой стороны, м...

Вкусные рецепты: Цветной овощной хлеб, Мясной сала

Цветной овощной хлебТакое количество продуктов я использовала для "колобка" одного цвета.Я замешивал...

Виды переплетных материалов

Некоторые виды переплетных материалов используемых в полиграфической продукции Переплетный материал ...

Как правильно принять решение?

В процессе ежедневной работы, в различных жизненных ситуациях нам приходится принимать решения. Иног...

Правда ли, что магнолии помнят динозавров?

«В краю магнолий плещет море…» — помните? И память услужливо предлага...

Создание дома для души

Наши дома обладают способностью оказывать влияние на состояние нашего ума. Они могут заставить нас ч...

Как пользоваться ФТП?

Автор: Шалаев Ростислав Уже достаточно длительное время, в течение которого я предлагаю своим...

Мюзикл «Рок на века». Кому работать, когда вокруг

Помнится, еще на центральном советском телевидении по праздникам зрителей баловали специальными музы...

Как приготовить бабину кашу? Рецепты белорусской г

Бабина каша — блюдо непростое. Не по рецепту, а по значению. Такой кашей наши предки отме...

Пиелонефрит при беременности

Вместе с долгожданными двумя полосками и на протяжении девяти месяцев вас начали сопровождать режущи...



Развивая портал:

Наш сайт является ресурсом, который включает в себя полный ассортимент информативных и отличных статей. Абсолютно каждый гость найдет для себя что-нибудь полезное. Модернизированный дизайн позволяет вам быстро находить требуемую информацию. Самые разнообразные тематические статьи дают возможность вам совершенствоваться в той или иной сфере. Быть более начитанным и грамотным. Современный дизайн сайта позволяет просматривать статьи на всех гаджетах. Теперь отыскать подходящую информацию стало совершенно легко.

Мы подобрали для вас информативные и занимательные статьи. На нашем сайте вы найдете ответы на необходимые для вас вопросы. Упрощенная система поиска позволяет вам мгновенно отыскать нужную информацию. Адаптированный дизайн позволяет вам просматривать информацию на любых гаджетах. Отныне, поиск подходящей информации будет занимать у вас секунды.