Квадратура круга построением отрезка равного "Пи"

Геометрия, как наука, начала формироваться около четырех тысяч лет назад и явилась следствием потребности древнего человека в решении практических задач: возведения сооружений и землеустройства. Античные геометры верили в неограниченные возможности циркуля и линейки пока не столкнулись с построением некоторых правильных многоугольников (7, 9, 11, 13 и т.д.) и тремя ставшими впоследствии знаменитыми задачами древности (удвоении куба, трисекции угла и квадратуры круга).

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на работы своих предшественников И. Ламберта, А. Лежандра, Ш. Эрмита, вывел строгое доказательство трансцендентности числа Pi. Таким образам было окончательно установлена невозможность точного построения квадрата равновеликого кругу циркулем и линейкой.

Приводимое ниже построение отрезка равного числу Pi, исходя из радиуса окружности, не противоречит выше изложенному материалу. Древние геометры Антифон, Бризон, Архимед нашли геометрическое решение вычисления числа Pi, суммированием сторон правильных вписанных в окружность или описанных вокруг нее многоугольников. При неограниченном возрастании количества сторон многоугольника, его периметр становится в пределе соизмеримым с длинной окружности. Аналогично сказанному, построенный предлагаемым здесь методом отрезок, гораздо быстрее стремится к длине полуокружности, т.е. числу Pi, нежели периметр многоугольника.

Длина окружности определяется формулой (1) (см. иллюстрацию), площадь круга соответственно (2). Если радиус, какого либо круга принять за единицу, тогда его площадь можно выразить прямоугольником, стороны которого равны Pi и R. В этом случае, большая сторона прямоугольника равна длине полуокружности, а малая - единичному отрезку. Среднее геометрическое сторон прямоугольника есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу, точное построение которого можно осуществить известным способом. Таким образом, решение квадратуры круга сводится к построению отрезка равного Pi, вариант которого предлагается ниже.

Очертим окружность произвольным радиусом R, центр которой обозначим точкой О. Впишем в окружность и опишем вокруг нее правильные шестиугольники. На рисунке изображены по три стороны от этих многоугольников, опоясывающих полуокружность, с целью разъяснения материала. В построении участвует одна сторона АВ от вписанного шестиугольника. Проведем три луча Оа, Оb и Op, исходящих из центра окружности и проходящих через концы отрезка АВ и его середину, точку Р. Опишем дугу из точки О как из центра раствором циркуля в три раза большим за радиус исходной окружности. Дуга пересечет лучи в точках А2, F, В2. Построение можно осуществлять от любого другого вписанного в окружность правильного n-угольника. В этом случае радиус дуги определятся выражением r = nR/2.

Стянем прямой точки А2 и В2. Построенный отрезок равен полусумме сторон вписанного шестиугольника А2В2 = СА + АВ + BD, с недостатком относительно длины полуокружности. Далее построим отрезок А3В3, проведением прямой параллельно А1В1 через точку F, до пересечения с лучами Oa и Ob. Он имеет длину соответствующую половине сторон описанного шестиугольника А3В3 = С1А1 + А1В1 + В1D1, с избытком относительно полуокружности. Таким образом, расположение отрезка равного длине полуокружности следует искать на участке меду отрезками А2В2 и А3В3.

Для этой цели воспользуемся следующим способом. Стянем прямыми концы построенных отрезков крест накрест. Точку E, образованную пересечением отрезка А2В2 и луча Op, соединим с точками А3 и В3. В результате новые отрезки в местах пересечения образуют точки M и N. Построим отрезок А4В4, проходящий через эти точки. Сколь верно он соответствует длине полуокружности (числу Pi) можно узнать, проведя вычисления по формулам: (3) и (4). Здесь a - длина стороны вписанного в окружность многоугольника, а n – число его сторон.

На представленном иллюстрацией построении А4В4 = 3,14023…, что примерно соответствует значению полученному Архимедом. Но он достиг данного результата вычислением периметров описанного и вписанного в окружность 96-ти угольников. Воспользуемся предлагаемым методом и проведем построение на стороне 96-ти угольника. Тогда длина отрезка А4В4 = 3,1415926335… с точностью в восемь знаков.

Использование указанных формул позволяет получать в два раза больше точных цифр относительно метода Архимеда. Например, периметр вписанного многоугольника состоящего из 96304 сторон дает значение Pi с точностью в десять знаков, а новый метод – в двадцать. Данная тенденция сохраняется при дальнейшем увеличении сторон многоугольника. Следовательно, с точки зрения теории, точность построения ничем не ограничена.



Автор статьи: неизвестный | Дата публикации: 20:41 23.03.2017 2poick.Ru




Отзывы и комментарии
Ваше имя (псевдоним):
Проверка на спам:

Введите символы с картинки:



Что делать с излишней сентиментальностью?

Что делать с излишней сентиментальностью?


Вопрос: «Мужу очень не нравится, когда я плачу (если это не касается физической боли или что-то необычное плохое произошло), например, когда я плачу из-за того, что мне не хватает разнообразия в...


Вкусные рецепты: Рыба запечёная. Аэрогриль, Фисинджан из фасоли, Ирладский кофе"Горные вершины"

Вкусные рецепты: Рыба запечёная. Аэрогриль, Ф...


Рыба запечёная. АэрогрильФиле рыбы порезать на куски,посолить,полить лимонным соком и всё перемешать. Выложить рыбу на форму,сверху выложить кольцалука,затем выложить слой тёртой моркови,затем выложит...


Оптимизация сайтов – достаточно просто!

Оптимизация сайтов – достаточно просто!


Оптимизация сайтов (раскрутка) еще молода – ей не более пяти лет, но можно уже сейчас говорить о том, что благодаря размещению статей в каталогах изменился подход к продвижению сайтов. Появляется все ...


«Я не смогу». А если попробовать?

«Я не смогу». А если попробовать?


«Я не смогу. У меня не получится». Сколько раз в жизни эти слова приходили вам на ум? Я могу вспомнить такие моменты с детского сада, потом школа, институт, работа… и до сегодняшнег...


Путь программиста или как стать программистом?

Путь программиста или как стать программистом...


Первый бой – он трудный самый. Это справедливо и для начинающих программистов. Сложнее всего сделать первые шаги, понять технологию, врубиться в концепцию. Если этот первый бастион программирования па...


КР 22. Как поживает сегодня брат легендарного револьвера системы Наган?

КР 22. Как поживает сегодня брат легендарного...


Хорошо поживает. Сменил имя, калибр и вместо дореволюционной «деревяшки» приобрел красивое ложе и современный «ортопедический» приклад. Продаётся свободно со склада Ижевского а...


Читаемые

Тенденции современной мебели

Покупка мебели в жизни современного человека, уже не вызывает такого ажиотажа и чувства праздника, как у наших родителей в их годы. В те времена приобретение серванта или шкафа – всегда сопровождалось...

Встроенные пылесосы

Создается такое впечатление что в России многие люди теряются, когда речь заходит о встроенных пылесосах. Производителям обычных портативных пылесосов это, конечно же, на руку. Они безусловно понимают...

Благодатный огонь-философский взгляд

Схождение Благодатного огня в храме Гроба Господня или Святой Свет символизирует выход из Гроба Света Истинного, то есть воскресшего Господа.Само слово "благодать" выражает хорошее состояние души - эт...

Производство мебели для офиса и гостиниц

Производство мебели для офиса и гостиниц Офисная мебель является одним из самых необходимых атрибутов в жизнедеятельности любой компании. Удачно подобранная мебель для офиса создает в оф...

Варианты выгодно купить квартиру в Херсоне или с п

Вас интересует недвижимость в Херсоне? Мы выяснили, как купить ее по хорошей стоимости. Готовы дать ценный совет и для тех, кто думает продать собственность. Определите желания Вы хотите пер...

Что мы знаем о растениях - знаках цветочного горос

Время Пиона в цветочном гороскопе — с 13 по 22 ноября. Крепыши и здоровяки Пионы могут не опасаться за здоровье, если только сами себя не погубят чрезмерными нагрузками. Покладистост...

Продолжительность жизни в наших руках - советы сп

Хотим ли мы жить долго и счастливо? По меньшей мере странный вопрос? Абсолютное большинство из нас без всякого сомнения ответит на этот вопрос положительно. Природа человека и генетически заложенный и...

Риэлтер: как стать успешным?

В любой области деятельности имеются профессионалы. На рынке недвижимости - это риэлтеры. У риэлтера большое число обязанностей: продажа и аренда недвижимости, работа с документами при заключении дого...

Что такое жадность? Скупость и контроль

Противоположностью оральной жадности становится, по-моему, чувство меры. Когда да, вкусно, да, здорово, но вполне могу и остановиться… Когда беру именно по потребности… без «запаса...

Применение натурального гранита и доломита

Несмотря на интенсивное развитие рынка отделочного природного камня в России, менеджеров и специалистов, способных решить задачи по облицовке фасада здания не так много. Не всегда хватает опыта и у ар...

О информационном портале:

Наш сайт является ресурсом, который включает в себя полный ассортимент информативных и отличных статей. Абсолютно каждый гость найдет для себя что-нибудь полезное. Модернизированный дизайн позволяет вам быстро находить требуемую информацию. Самые разнообразные тематические статьи дают возможность вам совершенствоваться в той или иной сфере. Быть более начитанным и грамотным. Современный дизайн сайта позволяет просматривать статьи на всех гаджетах. Теперь отыскать подходящую информацию стало совершенно легко.

Мы подобрали для вас информативные и занимательные статьи. На нашем сайте вы найдете ответы на необходимые для вас вопросы. Упрощенная система поиска позволяет вам мгновенно отыскать нужную информацию. Адаптированный дизайн позволяет вам просматривать информацию на любых гаджетах. Отныне, поиск подходящей информации будет занимать у вас секунды.