Квадратура круга построением отрезка равного "Пи"

Геометрия, как наука, начала формироваться около четырех тысяч лет назад и явилась следствием потребности древнего человека в решении практических задач: возведения сооружений и землеустройства. Античные геометры верили в неограниченные возможности циркуля и линейки пока не столкнулись с построением некоторых правильных многоугольников (7, 9, 11, 13 и т.д.) и тремя ставшими впоследствии знаменитыми задачами древности (удвоении куба, трисекции угла и квадратуры круга).

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на работы своих предшественников И. Ламберта, А. Лежандра, Ш. Эрмита, вывел строгое доказательство трансцендентности числа Pi. Таким образам было окончательно установлена невозможность точного построения квадрата равновеликого кругу циркулем и линейкой.

Приводимое ниже построение отрезка равного числу Pi, исходя из радиуса окружности, не противоречит выше изложенному материалу. Древние геометры Антифон, Бризон, Архимед нашли геометрическое решение вычисления числа Pi, суммированием сторон правильных вписанных в окружность или описанных вокруг нее многоугольников. При неограниченном возрастании количества сторон многоугольника, его периметр становится в пределе соизмеримым с длинной окружности. Аналогично сказанному, построенный предлагаемым здесь методом отрезок, гораздо быстрее стремится к длине полуокружности, т.е. числу Pi, нежели периметр многоугольника.

Длина окружности определяется формулой (1) (см. иллюстрацию), площадь круга соответственно (2). Если радиус, какого либо круга принять за единицу, тогда его площадь можно выразить прямоугольником, стороны которого равны Pi и R. В этом случае, большая сторона прямоугольника равна длине полуокружности, а малая - единичному отрезку. Среднее геометрическое сторон прямоугольника есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу, точное построение которого можно осуществить известным способом. Таким образом, решение квадратуры круга сводится к построению отрезка равного Pi, вариант которого предлагается ниже.

Очертим окружность произвольным радиусом R, центр которой обозначим точкой О. Впишем в окружность и опишем вокруг нее правильные шестиугольники. На рисунке изображены по три стороны от этих многоугольников, опоясывающих полуокружность, с целью разъяснения материала. В построении участвует одна сторона АВ от вписанного шестиугольника. Проведем три луча Оа, Оb и Op, исходящих из центра окружности и проходящих через концы отрезка АВ и его середину, точку Р. Опишем дугу из точки О как из центра раствором циркуля в три раза большим за радиус исходной окружности. Дуга пересечет лучи в точках А2, F, В2. Построение можно осуществлять от любого другого вписанного в окружность правильного n-угольника. В этом случае радиус дуги определятся выражением r = nR/2.

Стянем прямой точки А2 и В2. Построенный отрезок равен полусумме сторон вписанного шестиугольника А2В2 = СА + АВ + BD, с недостатком относительно длины полуокружности. Далее построим отрезок А3В3, проведением прямой параллельно А1В1 через точку F, до пересечения с лучами Oa и Ob. Он имеет длину соответствующую половине сторон описанного шестиугольника А3В3 = С1А1 + А1В1 + В1D1, с избытком относительно полуокружности. Таким образом, расположение отрезка равного длине полуокружности следует искать на участке меду отрезками А2В2 и А3В3.

Для этой цели воспользуемся следующим способом. Стянем прямыми концы построенных отрезков крест накрест. Точку E, образованную пересечением отрезка А2В2 и луча Op, соединим с точками А3 и В3. В результате новые отрезки в местах пересечения образуют точки M и N. Построим отрезок А4В4, проходящий через эти точки. Сколь верно он соответствует длине полуокружности (числу Pi) можно узнать, проведя вычисления по формулам: (3) и (4). Здесь a - длина стороны вписанного в окружность многоугольника, а n – число его сторон.

На представленном иллюстрацией построении А4В4 = 3,14023…, что примерно соответствует значению полученному Архимедом. Но он достиг данного результата вычислением периметров описанного и вписанного в окружность 96-ти угольников. Воспользуемся предлагаемым методом и проведем построение на стороне 96-ти угольника. Тогда длина отрезка А4В4 = 3,1415926335… с точностью в восемь знаков.

Использование указанных формул позволяет получать в два раза больше точных цифр относительно метода Архимеда. Например, периметр вписанного многоугольника состоящего из 96304 сторон дает значение Pi с точностью в десять знаков, а новый метод – в двадцать. Данная тенденция сохраняется при дальнейшем увеличении сторон многоугольника. Следовательно, с точки зрения теории, точность построения ничем не ограничена.



Автор статьи: неизвестный | Дата публикации: 20:41 23.03.2017 2poick.Ru




Отзывы и комментарии
Ваше имя (псевдоним):
Проверка на спам:

Введите символы с картинки:



Учеба за рубежом: почему стоит обратить внимание на Чехию?

Учеба за рубежом: почему стоит обратить внима...


Образование за рубежом – это невероятные возможности для студентов: блестящие перспективы трудоустройства в разных странах, изучение языков, получение опыта жизни в международной среде, который ...


Съедобна ли колюшка? Прогулки по Кронштадту

Съедобна ли колюшка? Прогулки по Кронштадту


В нашей стране есть места, которые не соответствуют глобальному ощущению — всё катится в тартарары. Просто, если вы в Питере, не надо ездить в Купчино или сдавать анализы в своей районной п...


Что такое «хорошо»? О здоровом образе жизни

Что такое «хорошо»? О здоровом образе жизни


Глядя на выпирающие ключицы и подламывающиеся ноги див помоста, невольно ловишь себя на мысли: Господи, это сколько же надо терпения, сколько сил положить, чтобы довести себя до такого состояния?...


Как забудешь незабудку?

Как забудешь незабудку?


Название растения незабудка на всех языках совершенно идентично в смысловом плане, но звучит различно (например, forget-me-not на английском языке). Этот синий, маленький, но невообразимо привлекатель...


Самые колоритные традиции барбекю в разных странах мира

Самые колоритные традиции барбекю в разных ст...


Понятие «барбекю» охватывает различные способы приготовления пищи: на гриле, на костре, в земляной яме и глиняной печи. В Южной Америке, Африке, Азии существуют региональные различия и особые традиц...


Электронные аукционы - новый вид торгов в интернете

Электронные аукционы - новый вид торгов в инт...


Электронные аукционы на данный момент новый вид рынка электронных торговых площадок (ЭТП). Цель такой площадки сведения продавцов и покупателей в единое целое. Основная часть реализации товаров провор...


Интересное

Купольный театр: что в нём ставят?

«Пролетарка, пролетарий, заходите в планетарий!» В. Маяковский. Не знаю, устраивают ли сейчас школьникам экскурсии в планетарии. В мое время устраивали. Причем наша неугомонная &laqu...

Почему Физика до сих пор живет по старинке, в отли

В химии все элементы «разложены по полочкам» в Таблице Д.И.Менделеева. В биологии всё живое распределено Карлом Линнеем на роды, виды, семейства и т.д. В грамматике все слова аккуратно поделены на час...

Как продлить жизнь цветам?

«Живучесть» срезанных цветов зависит от многих факторов: вида цветов, времени срезки, их состояния на момент срезки, условий хранения. Читает Илона Грошева Скачать в mp3 (2.4 Mb / 04:04 ми...

18 шагов к экономии электричества

Всех больше потребляют электроэнергии кухонные и обогревательные приборы. В доме с дровяной печью старайтесь готовить во время топки. Заведите емкость под кипячение воды на печи. Если есть газ для при...

Да будет цвет

Оформление ванной комнаты традиционно является предметом самых смелых фантазий. Безусловно, в ее обустройстве важны все детали: планировка, расстановка предметов интерьера, освещение. Но начать, пожал...

Как побороть стеснительность?

Если вы испытываете большой дискомфорт от стеснительности среди людей, то вы, наверное, всегда ищете ответ на вопрос: «Как же мне избавиться от этого?» Но когда вы слишком зацикливает...

Противопоказания к проведению лечебного массажа

При проведении лечебного массажа следует учитывать все противопоказания. По сравнению с гигиеническим массажем их гораздо больше. Не следует назначать лечебный массаж при следующих факторах:1. Острый...

Что мы знаем о растениях - знаках цветочного горос

Время Пиона в цветочном гороскопе — с 13 по 22 ноября. Крепыши и здоровяки Пионы могут не опасаться за здоровье, если только сами себя не погубят чрезмерными нагрузками. Покладистост...

Что роднит русский револьвер системы Наган образца

Всё! Это практически близнецы-братья. Конструкция, калибр, надёжность, дальность и точность стрельбы, время использования и даже… судьба! Оба были последними табельными револьверами Империй. То...

Межкомнатные перегородки из гипсовых плит

Выполняя перепланировку и ремонт квартиры, часто возникает необходимость в установке различных перегородок. Сооружение внутренних стен различных помещений, выполняемых с применением гипсовых плит, мож...

О информационном портале:

Наш сайт является ресурсом, который включает в себя полный ассортимент информативных и отличных статей. Абсолютно каждый гость найдет для себя что-нибудь полезное. Модернизированный дизайн позволяет вам быстро находить требуемую информацию. Самые разнообразные тематические статьи дают возможность вам совершенствоваться в той или иной сфере. Быть более начитанным и грамотным. Современный дизайн сайта позволяет просматривать статьи на всех гаджетах. Теперь отыскать подходящую информацию стало совершенно легко.

Мы подобрали для вас информативные и занимательные статьи. На нашем сайте вы найдете ответы на необходимые для вас вопросы. Упрощенная система поиска позволяет вам мгновенно отыскать нужную информацию. Адаптированный дизайн позволяет вам просматривать информацию на любых гаджетах. Отныне, поиск подходящей информации будет занимать у вас секунды.